Как выучить всю тригонометрию, ничего не уча

В школе про такое не рассказывают — иначе один огромный раздел геометрии вы бы прошли за один урок. Причём это был бы урок алгебры!

В тексте будут формулы, несложные, понятные любому старшекласснику. Но ясно, что любые формулы убивают читательское внимание — поэтому при первом прочтении промежуточные выкладки можно просто пропускать, вернётесь к ним потом. Главное, дойдите до формулы Эйлера — вы будете за всё вознаграждены: увидите волшебную неразрывную связь между геометрией и алгеброй и научитесь решать практически любые тригонометрические задачи без зубрёжки и справочников.

В обратную сторону

Если проследить, как возникают множества чисел в математике, то всегда это происходит одним и тем же способом. Сначала у нас только натуральные (N) — это которые целые больше нуля (ноль иногда включают, иногда нет). Это когда у нас коробка со спичками или счётными палочками, и мы их пересчитываем: «одна, вторая, третья». Потом мы начинаем их складывать: две плюс три — ага, получили пять. Пять плюс четыре — девять. А что, если делать в обратную сторону — не прибавлять, а отнимать? Девять минус шесть — три. А три минус шесть? Стоп, а у нас нет числа, которым мы можем это записать. Давайте введём отрицательные числа — так мы приходим к множеству Z (все целые: положительные, отрицательные и ноль).

Этих чисел нам хватит с достатком, пока мы не захотим заняться умножением. 3 × 5 = 15, 15 × 4 = 60 — пока всё в порядке. Но как только мы приступаем к обратной операции (делению), скоро наши числа у нас заканчиваются. 60:2 = 30, 30:2 = 15, 15:2 — стоп, нет такого числа! Давайте что ли его придумаем? Так возникает множество Q рациональных чисел — то есть таких, которые можно записать в виде дроби.

Рациональные числа заканчиваются, когда мы переходим к возведению в степень. 3 в квадрате — это 9, значит (идём в обратную сторону), корень квадратный из девяти — это 3. Два в кубе — это 8, а корень квадратный из восьми — это... ой! Это 2√2, а √2 — это что такое? Какой дробью мы можем его представить? А никакой. Давайте расширять наше множество чисел до R — вообще любые числа (их называют вещественными), которые мы можем даже не уметь подсчитать точно (√2 — это 1,4142135623... и ещё бесконечное количество цифр после запятой, во Вселенной не хватит места выписать его с абсолютной точностью).

Ну что, вроде справились? Все числа у нас теперь есть? Долгое время казалось, что да — но тут приходит такой Огюстен Луи Коши (французский математик и механик, барон, 1789—1857) и, лукаво подмигивая, говорит: смотрите, вот я беру корень квадратный из 4 — это два, проверяем: 2 × 2 = 4, всё верно. А если из −4? Какое это число?

Как ни старались, не смогли среди всех вещественных чисел найти такое, чтобы его квадрат был равен −4. Что же делать? Вы, конечно, уже догадались: делаем новое множество, называем такие числа компле́ксными (не ко́мплексными — следим за ударением, это ж не обед!), само множество обозначаем как C — уф, дело сделано! Теперь у нас есть числа для всех вообще операций (ну, почти).

Заметим, что все множества устроены по принципу матрёшки: Z включает в себя N, Q включает Z и N, R — Q, Z и N, ну а C — все их вместе. Мы каждый раз расширяли класс известных нам чисел — и поглядите, как далеко ушли от наших счётных палочек!

Комплексные, но не страшные

Корни из отрицательных чисел (которые также называют мнимыми числами) почему-то считаются такими ужасными, что в школе о них стараются не говорить. Предпочитают соврать: «Квадратный корень из отрицательного числа извлечь нельзя» (очень даже можно! Ещё одна школьная ложь того же плана: «На ноль делить нельзя» — иногда можно и нужно, но это отдельная тема, не станем отвлекаться).

Что важно понимать про компле́ксные числа, чтобы не сильно их бояться: все их можно свести к вещественным и одному специальному числу i = √−1. Тогда любое число запишется как c = a + i × b — парой простых вещественных чисел. Все операции с такими числами (сложение, перемножение, возведение в степень) производятся так же, как с обычными алгебраическими выражениями.

Найдём c²: c² = (a + i × b)² = a² + 2 × a × i × b + i² × b², а i² — это что? Верно, −1, значит, c² = a² − b² + 2 × a × i × b — такое же компле́ксное число, как и c. Ещё прикольно узнать, чему равно 1/i — легко подумать, что это i, а вот и нет, это −i! Проверим: домножим обе части равенства 1/i = −i на i, получим 1 = −i², i² = −1 — всё сошлось.

«Это всё очень интересно, а тригонометрия-то тут при чём?» — своевременный вопрос, как раз добрались! Давайте пару a, b, определяющую компле́ксное число, отметим как точку на плоскости: a — на оси x, b — на оси y. Как видим на графике, мы также можем определить число через пару l, φ: расстояние от точки до начала координат (это модуль числа, и когда у компле́ксного числа отсутствует мнимая часть (b = 0), это совпадает с нашим обычным определением модуля) и угол, который этот отрезок образует с осью x. Удивительный факт: когда мы перемножаем компле́ксные числа, их модули перемножаются, а углы складываются!

Любое компле́ксное число — это точка на плоскости: пара (a, b) или, что то же самое, пара (l, φ)

Теперь возьмём показательную функцию e^z (e ≈ 2,71828 — число Эйлера) и представим, что z = u + i × v — компле́ксное число. В таком случае e^u = l, а v = φ, согласны? Это просто следует из правил перемножения показательных функций, смотрите:

e^u₁+iv₁ × e^u₂+iv₂ = e^u₁+u₂ × e^{i × (v₁+v₂)}

Посмотрите: модули e^u₁ и e^u₂ перемножились, а углы v₁ и v₂ сложились, как и должно быть!

А теперь берём e^z для чисто мнимых z (u = 0, есть только v, которую дальше будем писать как φ, чтобы подчеркнуть, что это угол). По сути это окружность единичного радиуса (радиус = модуль, а модуль = e⁰ = 1 — любое число в степени ноль есть единица). А теперь вспомним, как мы изначально писали компле́ксные числа: a + i × b — взгляните на картинку, что есть a и что есть b? Это катеты! Катеты треугольника с гипотенузой, равной единице. Чему же они равны? a = 1 × cos φ, b = 1 × sin φ. И значит:

e^iφ = cos φ + i × sin φ

При l = 1 катеты треугольника — это и есть cos φ и sin φ. Отсюда и формула Эйлера

Вы понимаете, что мы натворили? Мы связали показательную функцию с тригонометрическими! Это и есть знаменитая формула Эйлера. И сейчас с её помощью мы решим всю тригонометрию (ну, почти).

Синус и косинус суммы двух углов? Начнём с очевидного свойства экспоненты:

e^i(x+y) = e^ix × e^iy

Подставим формулу Эйлера, правая часть равенства превращается в:

(cos x + i × sin x)(cos y + i × sin y)

Раскроем скобки:

(cos x × cos y − sin x × sin y) + i × (sin x × cos y + cos x × sin y)

А что в левой части? Вот что:

cos(x+y) + i × sin(x+y)

Теперь сравниваем вещественные и мнимые части слева и справа — и получаем сразу две знаменитые формулы, синус суммы и косинус суммы углов:

cos(x+y) = cos x × cos y − sin x × sin y

sin(x+y) = sin x × cos y + cos x × sin y

Хотите формулу для синуса тройного угла? Берём:

e^{i × 3x} = (e^ix)³

Подставляем формулу Эйлера. Раскрываем куб. Сравниваем мнимые части. Получаем:

sin 3x = 3 × sin x − 4 × sin³x

Косинус тройного угла cos 3x = 4 × cos³x − 3 × cos x получаем здесь же, попутно, так сказать, бонусом — из сравнения действительной части равенства слева и справа.

Продолжите самостоятельно — не найдётся школьной формулы, относящейся к синусам и косинусам, которую нельзя при помощи лёгких преобразований вывести из формулы Эйлера.

Русский швейцарец

Кто же этот Эйлер, которому мы обязаны этой изящной формулой? Леонарда Эйлера считают одним из величайших математиков — наряду с Архимедом, Ньютоном и Гауссом. Но мало кто знает, что большая часть его научной жизни прошла в России.

Леонард Эйлер (1707—1783)

Эйлер родился в Швейцарии в 1707 году, а в двадцать лет приехал в Петербург по приглашению Академии наук, основанной при Петре. Молодая Российская империя тогда стремительно догоняла Европу и вкладывала огромные силы в просвещение. В Петербурге Эйлер написал множество работ по математике, механике, астрономии, физике и даже кораблестроению. Он на несколько лет выезжал в Берлин, но затем вернулся и провёл в Петербурге последние годы жизни. Здесь же он в 1783 году умер и был похоронен.

Трудно найти область науки, в которую Эйлер не внёс бы заметного вклада. Он исследовал движение планет и распространение света, занимался гидродинамикой и теорией музыки, создал основы многих разделов современной математики. Даже привычные нам обозначения вроде f(x), e, π получили широкое распространение во многом благодаря именно ему.

Но Эйлер был не просто великим учёным. Он обладал редким даром объяснять сложные вещи простым языком. Самый знаменитый пример — его «Письма к немецкой принцессе». В течение нескольких лет Эйлер писал их юной принцессе Фридерике Шарлотте Бранденбург-Шведтской: в этих письмах он рассказывал о физике, астрономии, природе света, движении небесных тел, музыке, философии и устройстве мира вообще. И эти письма дичайше интересно читать и сегодня, два с половиной столетия спустя! Вся фишка в том, что Эйлер не грузит читателя, а, напротив, стремится показать разные явления с наибольшей ясностью. Формула Эйлера сама по себе — нагляднейшая иллюстрация: увязать между собой совершенно разные области математики и дать простейший инструмент для решения сложных тригонометрических задач! К ЕГЭ теперь можно не готовиться! (Ладно, это, конечно, шутка, и ни одна волшебная формула не может заменить учёбу, обязательно учите математику — вы же видите, какая это красивая наука!)

«Письма к немецкой принцессе» легко гуглятся (ссылки на пиратские сайты, поэтому, к сожалению, не можем привести), горячо рекомендуем к прочтению. Вас ждут такие же удивительные открытия, как вы сделали в этой статье — только там их на целых три тома!